Question
Bonsoir voilà j'ai un petit exercice pour demain j'ai un peu de mal j'ai besoin d'aide svp je bloque depuis 30 minute dessus
Montre par récurrence que (Un) est constante .
U0=1\3
Un+1=4Un -1
J'ai vraiment besoin d'aide svp?
Montre par récurrence que (Un) est constante .
U0=1\3
Un+1=4Un -1
J'ai vraiment besoin d'aide svp?
Asked by: USER5441
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Answer (266)
Bonjour Nawelle5
Montre par récurrence que (Un) est constante.
Initialisation :
[tex]U_0=\dfrac{1}{3}\\\\U_1=4U_0-1=4\times\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}[/tex]
D'où,
[tex]U_0=U_1=\dfrac{1}{3}[/tex]
L'initialisation est vraie puisque la suite est constante jusqu'au rang 1.
Hérédité :
Montrons que si pour un entier naturel n, nous avons [tex]U_n=\dfrac{1}{3}[/tex], alors nous aurons [tex]U_{n+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
En effet :
[tex]U_{n+1}=4U_n-1=4\times\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}[/tex]
D'où [tex]U_{n+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous en déduisons que la suite (Un) est une suite constante dont tous les termes sont égaux à 1/3.
Montre par récurrence que (Un) est constante.
Initialisation :
[tex]U_0=\dfrac{1}{3}\\\\U_1=4U_0-1=4\times\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}[/tex]
D'où,
[tex]U_0=U_1=\dfrac{1}{3}[/tex]
L'initialisation est vraie puisque la suite est constante jusqu'au rang 1.
Hérédité :
Montrons que si pour un entier naturel n, nous avons [tex]U_n=\dfrac{1}{3}[/tex], alors nous aurons [tex]U_{n+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
En effet :
[tex]U_{n+1}=4U_n-1=4\times\dfrac{1}{3}-1=\dfrac{4}{3}-1=\dfrac{4}{3}-\dfrac{3}{3}=\dfrac{1}{3}[/tex]
D'où [tex]U_{n+1}=\dfrac{1}{3}[/tex]
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous en déduisons que la suite (Un) est une suite constante dont tous les termes sont égaux à 1/3.